直臂升高车振动方程状态空间表述形式   东莞升高车出租, 东莞升高车, 升高车出租   升高车不同于其他工程机械，其主要工作形式是将人员和设备举升到指定高度，因此对于人员安全性和舒适性有较高要求，而工作平台在运动过程中的振动是影响上述要求的重要因素。因此，如何消减以及将振动控制在人体可感知的幅度之外，是提升升高车使用性能的重要方面。目前国内针对升高车振动控制的相关研究从结构、液压和控制各个方面入手，以实现运动过程的平顺性和人员舒适性作为最终目标。例如采用多柔体动力学理论，对折臂式及混合臂式升高车的臂架系统进行动力学仿真;在柔体动力学方程基础上采用奇异摄动理论，通过线性二次型最优控制抑制臂架的弹性振动，或采用一种鲁棒性开环控制方法，即输入整形法实现抑制作业平台的摆动现象;采用负载敏感变量泵与压力补偿平衡阀保证运动平稳性及能量利用率。针对与升高车具有很强相似性的云梯登高消防车，采用弹性体振动分析理论，对多款系列化产品开展了多年的减振主动控制方面的研究。在云梯消防车方面的研究成果对于如何实现升高车主动减振具有重要的借鉴意义。考虑到关于升高车的动力学的现有研究主要以柔体动力学为主，本文针对升高车中臂架结构形式最简单的直臂升高车。以振动力学中梁的横向弯曲振动为基础，将直臂升高车的臂架系统看作端部具有集中质量的阶梯梁模型，研究其振动特性，为后续的控制系统设计提供基础。

      臂架系统抽象模型直臂升高车的臂架设计为变截面形式，以满足臂架伸缩的需要。在臂架末端设置有一个工作平台，用来搭载人员及设备，其质量及动力学效应相对于臂架而言不可忽略。针对直臂升高车的臂架特点，现有的均匀等截面梁的振动方程无法准确描述其振动特性，需要针对变截面阶梯梁，并考虑其末端的集中质量，建立新的动力学模型。考虑到每一节臂架的长度与截面高度比值满足长细梁要求，故可以将每一级臂架看作一段欧拉－伯努利梁。 臂架截面高度逐级减小，而对于每一段梁其线密度ρA和抗弯刚度EI是恒定的，仍满足均质等截面梁的弯曲振动方程。 根据弹性体振动理论，均质欧拉－伯努利梁的横向弯曲振动方程。假设梁模型包含N段截面形式不同的部分表示为Δi，每一段由第i段梁的轴线上左右端点zi－1和zi表示。则有，Δi=［zi－1，zi)，i=1，…，N－1zi－1＜zi，z0=0，zN=LΔ1=［0，z1)，ΔN=［zN－1，L］(2)而对于每段梁，其属性可定义为，ρA=ρAi，EI=EIiz∈Δi  (3)为了方便表述，引入新的变量Ｒ(z，t)， 表达臂架上任意位置z在时间t时对水平面绕转铰O的弧长。Ｒi(z，t)=zθ(t)+wi(z，t)，z∈Δi(4)将式(4)代入式(1)，可以得到针对所有z∈Δi的梁的动力学偏微分方程。ρAiＲ··i+EIiＲiⅣ=0(5)式中，ＲiⅣ表示对长度的四阶导。

      模型边界条件的确定: 将臂架系统的变幅系统简化为具有转动惯量的驱动轮毂，其转轴即为臂架的根铰点，将臂架变幅油缸铰点以上的部分看作固接在驱动轮毂上。忽略臂架根铰点与变幅油缸铰点之间的距离，即看作臂架与驱动轮毂在z=0位置连接。由第一段梁左端与轮毂为固定约束，则有w1(0，t)=0w'1(0，t)=0进一步可以得到系统在z=0位置的边界条件， (7)对于梁的另一端，z=L处，将工作斗及所承受的载荷合计为mC，并令其对臂架顶端的转动惯量为JC，根据动静法，结合弯矩、剪力与梁挠曲度之间的关系，可得到在臂架顶端的力学边界条件.  (9)对于每节臂架之间的连接关系，由于有上下两组滑块接触，臂架之间可以传递力与弯矩，并应满足几何连续性条件。忽略两节臂架之间的重叠部分，将相邻两段梁之间的连接看作刚性连接。故在截面突变点zi处梁的挠曲函数满足，即可得几何连续条件， 而在zi处，根据剪力与弯矩连续可得到动力学连续条件.  由于忽略驱动油缸及其动力学效应，将臂架仰角看作系统输入.  

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       通解分解, 由于臂架顶端的动力学边界条件，使得系统的动力学方程不是齐次方程组。而针对该偏微分方程的解，可以假设包括一个齐次部分(ＲH)和一个非齐次部分(ＲⅠ)，Ｒ(z，t)=ＲⅠ(z，t)+ＲH(z，t)   针对变截面梁模型，可以进一步得到，Ｒi(z，t)=Ｒi，Ⅰ(z，t)+Ｒi，H(z，t)，齐次部分必须既满足偏微分方程和齐次边界条件，非齐次部分只满足非齐次边界条件。分离变量根据系统具有与时间无关的确定振型的特性，故仍可采用分离变量法解梁的横向弯曲振动问题。针对齐次微分方程的解，采用分离变量表示为Ｒi，H=T(t)Zi(z)(26)式中，T(t)为只与时间相关的函数，Zi(z)为只与空间相关的函数。其中ωn为常数时，方可使式(28)成立，且ωn与不同频率下的Tn(t)和Zi，n对应。整理式(28)可得时间相关函数有T··n(t)+ω2nTn(t)=0(29)空间相关函数有ZⅣi，n(z)－λi，nZi，n(z)=0(30)式中特征值λi，n定义为λi，n=ω2nηi，n≥1表示频谱阶数。以上矩阵取决于未知的特征值λi，n，i=1，…，N。对于n段梁的情况，矩阵Mn为4n×4n的方阵，而当段数N=1时，矩阵Mn退化为Mn=B1BN，[]n是4×4方阵，只有边界条件子矩阵，表示末端具有质量的均质悬臂梁，是分段梁模型的一个特例。当各段梁的属性EIi和ρAi已知时，可根据特征值与特征角频率ωn之间的关系，将各段梁的特征值统一由第一段梁的特征值表示λi，n=ηiη1λ1，n=AiA1I1Iiλ1，n(48)式(43)有非零解的条件是detMn=0(49)当梁的分段段数N越大，矩阵Mn的阶数越大，由于振型函数包括三角函数与双曲函数，式(49)可整理为复杂的超越方程，无法得到解析解。可通过Math-ematica中FindＲoot函数在指定区间求式(49)的数值解，得到对应频率的特征值λi，n，结合式(48)，可以得到各段λi，n的数值解，从而得到系数向量pn，进而得到各段梁的特征函数即振型函数Zi，n。结合由式(29)得到的时间相关函数Tn(t)，可得到齐次解为Ｒi，H=∑∞n=1Zi，nTn(t)(50)2．3非齐次解偏微分方程式(5)的解假设为齐次解和一个非齐次微分方程解的和。非齐次解只符合连续条件和非齐次边界条件，但并非控制微分方程所必须。非齐次解假设为Ｒi，Ⅰ=fi(z)u(t)=fi(z)θ(t)(51)假设由式(17)推导出的非齐次偏微分方程在z=L处成立，得到非齐次边界条件，非齐次解也必须符合连续性条件。在此假设下，可以得出fi(z)=z是该问题的特解，其满足所有边界条件和连续性条件。

     主坐标下振动方程求解与多自由度系统的振型叠加法类似，对于变截面梁的动位移可以由主坐标平面内的振型函数与权函数表示。首先，定义主坐标下展开形式。令h∈H，则函数h(z)可以展开成广义傅立叶级数的形式h(z)=∑∞n=1h*nZn(z)(58)其中Zn(z)是归一化的特征函数由Zn(z)Zn(z)/Zn(z)定义。系数h*n(z)由h*n(z)=〈h(z)，Zn(z)〉定义。对级数展开两端求内积，并根据特征函数的正交性可，Zk(z)〉=h*k(59)针对运动方程式(17)在主坐标下逐项进行广义傅里叶级数展开。对于每一段梁有ρA(z)=ρAi，z∈Δi可得Ｒ··H(z，t)+1ηiＲⅣH(z，t)=－Ｒ··I(z，t)－1ηiＲⅣI(z，t)对各项求得展开系数为Ｒ··*H，n(t)、ω2nＲ*H，n(t)令非齐次解ＲI(z，t)为ＲI=f(z)u(t)在主坐标下表示为 对微分项做相同处理可得运动方程式.  由于解Ｒ(z，t)是齐次与非齐次解之和，在主坐标下可以表示为Ｒ*n(t)=Ｒ*H，n(t)+f*nu(t)可得主坐标下各阶振动方程.  如果考虑结构自身阻尼，则可进一步得到，Dn为各阶的阻尼系数，可由实验或根据计算得到。

      利用求得的各阶固有频率和振型函数，代入式(61)和(62)可得各阶振动方程式(64)中的参数f*n和fⅣ*n。由于第三阶及更高阶振动对整体影响较小，并考虑到液压系统的控制频率限制，只考虑前两阶振动对系统的影响。利用状态空间表述系统振动特性，针对不同的输出量y，可通过改变C与D的值获得。例如，获得臂头位置的位移(弧长)变化，则需令0，D=03实际算例根据现有某型号直臂升高车臂架参数，得到三节伸缩臂在全伸状态下的前三阶振。利用Simulink中的状态空间模块可快速获得所需要的输出量y。仿真时间设定为80s，输入信号u(t)为臂架仰角θ的变化曲线。图5所示为给定臂架仰角变化曲线，得到臂头位置的角位移曲线，偏差是由于忽略了三阶及以上的振型所致;图6所示为臂头位置的线速度变化曲线;

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